Slot777

Slot777

joker123

Definición del modelo de Black-Scholes

¿Qué es el modelo Black-Scholes?

El modelo Black-Scholes, también conocido como modelo Black-Scholes-Merton (BSM), es uno de los conceptos más importantes de la teoría financiera moderna. Esta ecuación matemática estima el valor teórico de los derivados en base a otros instrumentos de inversión, teniendo en cuenta el impacto del tiempo y otros factores de riesgo. Desarrollado en 1973, todavía se considera una de las mejores formas de fijar el precio de un contrato de opciones.

Conclusiones clave

  • El modelo Black-Scholes, también conocido como modelo Black-Scholes-Merton (BSM), es una ecuación diferencial ampliamente utilizada para cotizar contratos de opciones.
  • El modelo Black-Scholes requiere cinco variables de entrada: el precio de ejercicio de una opción, el precio actual de las acciones, el tiempo hasta el vencimiento, la tasa libre de riesgo y la volatilidad.
  • Aunque suele ser preciso, el modelo de Black-Scholes hace ciertas suposiciones que pueden conducir a precios que se desvían de los resultados del mundo real.
  • El modelo BSM estándar solo se utiliza para cotizar opciones europeas, ya que no tiene en cuenta que las opciones americanas podrían ejercerse antes de la fecha de vencimiento.

Historia del modelo Black-Scholes

Desarrollado en 1973 por Fischer Black, Robert Merton y Myron Scholes, el modelo de Black-Scholes fue el primer método matemático ampliamente utilizado para calcular el valor teórico de un contrato de opciones, utilizando los precios actuales de las acciones, los dividendos esperados, el precio de ejercicio de la opción, los tasas de interés, tiempo hasta el vencimiento y volatilidad esperada.

La ecuación inicial se introdujo en el artículo de Black y Scholes de 1973, «The Pricing of Options and Corporate Liabilities», publicado en el Revista de Economía Política. Robert C. Merton ayudó a editar ese artículo. Más tarde ese año, publicó su propio artículo, «Teoría de la fijación de precios de opciones racionales», en The Bell Journal of Economics and Management Science, ampliando la comprensión matemática y las aplicaciones del modelo, y acuñando el término «teoría de Black-Scholes de valoración de opciones».

En 1997, Scholes y Merton recibieron el Premio Nobel de Ciencias Económicas por su trabajo en la búsqueda de «un nuevo método para determinar el valor de los derivados». Black había fallecido dos años antes, por lo que no podía recibirlo, ya que los premios Nobel no se otorgan póstumamente; sin embargo, el comité del Nobel reconoció su papel en el modelo Black-Scholes.

Cómo funciona el modelo de Black-Scholes

Black-Scholes postula que los instrumentos, como las acciones o los contratos de futuros, tendrán una distribución logarítmica normal de precios después de un recorrido aleatorio con volatilidad y deriva constantes. Utilizando esta suposición y teniendo en cuenta otras variables importantes, la ecuación deriva el precio de una opción de compra al estilo europeo.

La ecuación de Black-Scholes requiere cinco variables. Estas entradas son la volatilidad, el precio del activo subyacente, el precio de ejercicio de la opción, el tiempo hasta el vencimiento de la opción y la tasa de interés libre de riesgo. Con estas variables, es teóricamente posible que los vendedores de opciones establezcan precios racionales para las opciones que están vendiendo.

Además, el modelo predice que el precio de los activos fuertemente negociados sigue un movimiento browniano geométrico con volatilidad y deriva constantes. Cuando se aplica a una opción sobre acciones, el modelo incorpora la variación constante del precio de la acción, el valor del dinero en el tiempo, el precio de ejercicio de la opción y el tiempo hasta el vencimiento de la opción.

Suposiciones de Black-Scholes

El modelo Black-Scholes hace ciertas suposiciones:

  • No se pagan dividendos durante la vida de la opción.
  • Los mercados son aleatorios (es decir, los movimientos del mercado no se pueden predecir).
  • No hay costos de transacción en la compra de la opción.
  • La tasa libre de riesgo y la volatilidad del activo subyacente son conocidas y constantes.
  • Los rendimientos del activo subyacente tienen una distribución logarítmica normal.
  • La opción es europea y solo se puede ejercer al vencimiento.

Si bien el modelo original de Black-Scholes no consideró los efectos de los dividendos pagados durante la vida de la opción, el modelo se adapta con frecuencia para contabilizar los dividendos mediante la determinación del valor de fecha ex-dividendo de la acción subyacente. Muchos creadores de mercado de venta de opciones también modifican el modelo para tener en cuenta el efecto de las opciones que se pueden ejercer antes del vencimiento.

La fórmula del modelo de Black-Scholes

Las matemáticas involucradas en la fórmula son complicadas y pueden ser intimidantes. Afortunadamente, no necesita saber o incluso comprender las matemáticas para utilizar el modelo de Black-Scholes en sus propias estrategias. Los comerciantes de opciones tienen acceso a una variedad de calculadoras de opciones en línea, y muchas de las plataformas de negociación actuales cuentan con sólidas herramientas de análisis de opciones, incluidos indicadores y hojas de cálculo que realizan los cálculos y generan los valores de precios de las opciones.

La fórmula de la opción de compra de Black-Scholes se calcula multiplicando el precio de las acciones por la función de distribución de probabilidad normal estándar acumulada. Posteriormente, al valor resultante del cálculo anterior se le resta el valor actual neto (VAN) del precio de ejercicio multiplicado por la distribución normal estándar acumulada.

En notación matemática:


C

=

S

t

norte

(

d

1

)

k

mi

r

t

norte

(

d

2

)

donde:

d

1

=

yo

norte

S

t

k

+

(

r

+

σ

v

2

2

)

t

σ

s

t

y

d

2

=

d

1

σ

s

t

donde:

C

=

Precio de la opción de compra

S

=

Precio actual de las acciones (u otro subyacente)

k

=

Precio de ejercicio

r

=

Tasa de interés libre de riesgo

t

=

Tiempo hasta la madurez

norte

=

Una distribución normal

begin{alineado} &C = S_t N(d _1) – K e ^{-rt} N(d _2)\ &textbf{donde:}\ &d_1 = frac{lnfrac{S_t}{K } + (r+ frac{sigma ^{2} _v}{2}) t}{sigma_s sqrt{t}}\ &text{y}\ &d_2 = d_1 – sigma_s sqrt{t}\ &textbf{donde:}\ &C = text{Precio de la opción de compra}\ &S = text{Precio actual de las acciones (u otro subyacente)}\ &K = text{Precio de ejercicio }\ &r = text{Tasa de interés libre de riesgo}\ &t = text{Tiempo hasta el vencimiento}\ &N = text{Una distribución normal}\ end{alineada} C=Stnorte(d1)kmirtnorte(d2)donde:d1=σs tyonortekSt+(r+2σv2) tyd2=d1σs tdonde:C=Precio de la opción de compraS=Precio actual de las acciones (u otro subyacente)k=Precio de ejercicior=Tasa de interés libre de riesgot=Tiempo hasta la madureznorte=Una distribución normal


Black, Scholes, Merton.
© Academia Khan

Sesgo de volatilidad

Black-Scholes supone que los precios de las acciones siguen una distribución logarítmica normal porque los precios de los activos no pueden ser negativos (están acotados por cero).

A menudo, se observa que los precios de los activos tienen un sesgo a la derecha significativo y cierto grado de curtosis (colas gruesas). Esto significa que los movimientos a la baja de alto riesgo a menudo ocurren con más frecuencia en el mercado de lo que predice una distribución normal.

El supuesto de precios de activos subyacentes logarítmicos normales debería mostrar que las volatilidades implícitas son similares para cada precio de ejercicio según el modelo de Black-Scholes. Sin embargo, desde la caída del mercado de 1987, las volatilidades implícitas de las opciones at-the-money han sido más bajas que las de las opciones out-the-money o far-in-the-money. La razón de este fenómeno es que el mercado está valorando una mayor probabilidad de un movimiento a la baja de alta volatilidad en los mercados.

Esto ha llevado a la presencia del sesgo de volatilidad. Cuando las volatilidades implícitas de las opciones con la misma fecha de vencimiento se representan en un gráfico, se puede ver una sonrisa o una forma sesgada. Por lo tanto, el modelo de Black-Scholes no es eficiente para calcular la volatilidad implícita.

Inconvenientes del modelo Black-Scholes

Como se indicó anteriormente, el modelo Black-Scholes solo se usa para cotizar opciones europeas y no tiene en cuenta que las opciones estadounidenses podrían ejercerse antes de la fecha de vencimiento. Además, el modelo asume que los dividendos y las tasas libres de riesgo son constantes, pero esto puede no ser cierto en la realidad. El modelo también asume que la volatilidad permanece constante durante la vida de la opción, lo cual no es el caso porque la volatilidad fluctúa con el nivel de oferta y demanda.

Además, los otros supuestos—que no hay costos de transacción o impuestos; que la tasa de interés libre de riesgo es constante para todos los vencimientos; que se permite la venta al descubierto de valores con uso de los ingresos; y que no hay oportunidades de arbitraje sin riesgo— puede conducir a precios que se desvían de los del mundo real.

¿Qué hace el modelo Black-Scholes?

Black-Scholes, también conocido como Black-Scholes-Merton (BSM), fue el primer modelo ampliamente utilizado para la fijación de precios de opciones. Basándose en el supuesto de que los instrumentos, como las acciones o los contratos de futuros, tendrán una distribución lognormal de precios siguiendo un recorrido aleatorio con volatilidad y deriva constantes, y teniendo en cuenta otras variables importantes, la ecuación deriva el precio de una llamada al estilo europeo opción. Lo hace restando el valor presente neto (VAN) del precio de ejercicio multiplicado por la distribución normal estándar acumulada del producto del precio de las acciones y la función de distribución de probabilidad normal estándar acumulada.

¿Cuáles son las entradas para el modelo de Black-Scholes?

Las entradas para la ecuación de Black-Scholes son la volatilidad, el precio del activo subyacente, el precio de ejercicio de la opción, el tiempo hasta el vencimiento de la opción y la tasa de interés libre de riesgo. Con estas variables, es teóricamente posible que los vendedores de opciones establezcan precios racionales para las opciones que están vendiendo.

¿Qué suposiciones hace el modelo de Black-Scholes?

El modelo Black-Scholes hace ciertas suposiciones. La principal de ellas es que la opción es europea y solo se puede ejercer al vencimiento. Otros supuestos son que no se pagan dividendos durante la vigencia de la opción; que los movimientos del mercado no se pueden predecir; que no hay costos de transacción en la compra de la opción; que la tasa libre de riesgo y la volatilidad del subyacente sean conocidas y constantes; y que los rendimientos del activo subyacente se distribuyen logarítmicamente normalmente.

¿Cuáles son las limitaciones del modelo Black-Scholes?

El modelo Black-Scholes solo se utiliza para cotizar opciones europeas y no tiene en cuenta que las opciones americanas podrían ejercerse antes de la fecha de vencimiento. Además, el modelo asume que los dividendos, la volatilidad y las tasas libres de riesgo permanecen constantes durante la vida de la opción.

No tener en cuenta los impuestos, las comisiones o los costes comerciales o los impuestos también puede dar lugar a valoraciones que se desvíen de los resultados del mundo real.

¿Te ha resultado útil??

0 / 0